Question

如圖，△OAB中，OA =" OB" = 10，∠AOB = 80°，以點(diǎn)O為圓心，6為半徑的優(yōu)弧分別交OA，OB于點(diǎn)M，N.

（1）點(diǎn)P在右半弧上（∠BOP是銳角），將OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°得OP′.
求證：AP = BP′；
（2）點(diǎn)T在左半弧上，若AT與弧相切，求點(diǎn)T到OA的距離；
（3）設(shè)點(diǎn)Q在優(yōu)弧上，當(dāng)△AOQ的面積最大時(shí)，直接寫(xiě)出∠BOQ的度數(shù).

Answer 1

（1）根據(jù)已知得出∠AOP=∠BOP′，從進(jìn)而由SAS得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案。
（2）
（3）10°或170°

分析：（1）根據(jù)已知得出∠AOP=∠BOP′，從進(jìn)而由SAS得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案。
（1）證明：如圖1，∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP，

∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP，
∴∠AOP=∠BOP′。
∵在△AOP和△BOP′中，，
∴△AOP≌△BOP′（SAS）。
∴AP=BP′。
（2）利用切線的性質(zhì)得出∠ATO=90°，再利用勾股定理求出AT的長(zhǎng)，進(jìn)而得出TH的長(zhǎng)即可得出答案。
解：如圖1，連接OT，過(guò)點(diǎn)T作TH⊥OA于點(diǎn)H，
∵AT與相切，∴∠ATO=90°。
∴。
∵×OA×TH=×AT×OT，
∴×10×TH=×8×6，解得：TH=。
∴點(diǎn)T到OA的距離為。
（3）如圖2，當(dāng)OQ⊥OA時(shí)，△AOQ的面積最大。理由如下：

當(dāng)Q點(diǎn)在優(yōu)弧左側(cè)上，
∵OQ⊥OA，
∴QO是△AOQ中最長(zhǎng)的高，則△AOQ的面積最大。
∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+80°=170°。
當(dāng)Q點(diǎn)在優(yōu)弧右側(cè)上，
∵OQ⊥OA，
∴QO是△AOQ中最長(zhǎng)的高，則△AOQ的面積最大。
∴∠BOQ=∠AOQ－－∠AOB=90°－80°=10°。
綜上所述：當(dāng)∠BOQ的度數(shù)為10°或170°時(shí)，△AOQ的面積最大。