Question

將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉θ度，并使各邊長變為原來的n倍，得△AB′C′，即如圖①，我們將這種變換記為[θ，n].

（1）如圖①，對△ABC作變換[60°，]得△AB′C′，則S_△AB′C′：S_△ABC=____；直線BC與直線B′C′所夾的銳角為______度；
（2）如圖②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，對△ABC 作變換[θ，n]得△AB'C'，使點B、C、C′在同一直線上，且四邊形ABB'C'為矩形，求θ和n的值；
（3）如圖③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，對△ABC作變換[θ，n]得△AB′C′，使點B、C、B′在同一直線上，且四邊形ABB'C'為平行四邊形，求θ和n的值.

Answer 1

（1） 3，60；（2）60°，2；（3）72°，.

試題分析：（1）根據題意得：△ABC∽△AB′C′，∴S_△AB′C′：S_△ABC=，∠B=∠B′，
∵∠ANB=∠B′NM，∴∠BMB′=∠BAB′=60°；（2）由四邊形 ABB′C′是矩形，可得∠BAC′=90°，然后由θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC，即可求得θ的度數，又由含30°角的直角三角形的性質，即可求得n的值，（3）由四邊形ABB′C′是平行四邊形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°，又由△ABC∽△B′BA，根據相似三角形的對應邊成比例，易得AB²=CB•BB′=CB（BC+CB′），繼而求得答案.

試題解析：（1） 3；60.
（2）∵四邊形 ABB′C′是矩形，∴∠BAC′=90°.
∴θ=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=90°﹣30°=60°．
在 Rt△AB B' 中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°，∴∠AB′B=30°.
∴AB′="2" AB，即.
（3）∵四邊形ABB′C′是平行四邊形，∴AC′∥BB′.
又∵∠BAC=36°，∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°.
∴∠C′AB′=∠BAC=36°.
而∠B=∠B，∴△ABC∽△B′BA. ∴AB：BB′=CB：AB. ∴AB²=CB•BB′=CB（BC+CB′）.
而 CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，∴AB²=1（1+AB），解得，.
∵AB＞0，∴.⁰角直角三角形的性質；5.平行四邊形的性質；6.相似三角形的判定和性質；7.公式法解一元二次方程.