Question

【題目】如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以BC為直徑作⊙O交AB于點D.

(1)求線段AD的長度；

(2)點E是線段AC上的一點，試問當點E在什么位置時，直線ED與⊙O相切？請說明理由．

Answer 1

【答案】 (1) AD＝;(2)當點E是AC的中點時，ED與⊙O相切．理由見解析.

【解析】試題分析：（1）由勾股定理易求得AB的長；可連接CD，由圓周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得關于AC、AD、AB的比例關系式，即可求出AD的長．

（2）當ED與⊙O相切時，由切線長定理知EC=ED，則∠ECD=∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可證得AE=DE，即E是AC的中點．在證明時，可連接OD，證OD⊥DE即可．

試題解析：（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm；（1分）

連接CD，∵BC為直徑，

∴∠ADC=∠BDC=90°；

∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，

∴Rt△ADC∽Rt△ACB；

∴

∴

（2）當點E是AC的中點時，ED與⊙O相切；

證明：連接OD，

∵DE是Rt△ADC的中線；

∴ED=EC，

∴∠EDC=∠ECD；

∵OC=OD，

∴∠ODC=∠OCD；

∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°；

∴ED⊥OD，

∴ED與⊙O相切．