Question

【題目】問題情境：

數學活動課上，老師讓同學們以“三角形的旋轉”為主題開展數學活動，△ABC和△DEC是兩個全等的直角三角形紙片，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝∠E＝30°，AB＝DE＝4．

解決問題：

（1）如圖1，智慧小組將△DEC繞點C順時針旋轉，發現當點D恰好落在AB邊上時，DE∥AC，請你幫他們證明這個結論；

（2）縝密小組在智慧小組的基礎上繼續探究，當△DEC繞點C繼續旋轉到如圖2所示的位置時，連接AE、AD、BD，他們提出S△BDC＝S△AEC，請你幫他們驗證這一結論是否正確，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）正確，理由見解析

【解析】

（1）如圖1中，根據旋轉的性質可得AC＝CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得∠ACD＝60°，然后根據內錯角相等，兩直線平行進行解答；

（2）如圖2中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC交EC的延長線于N．根據旋轉的性質可得BC＝CE，AC＝CD，再求出∠ACN＝∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據全等三角形對應邊相等可得AN＝DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明．

解：（1）如圖1中，∵△DEC繞點C旋轉點D恰好落在AB邊上，

∴AC＝CD，

∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，

∴△ACD是等邊三角形，

∴∠ACD＝60°，

又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，

∴∠ACD＝∠CDE，

∴DE∥AC；

（2）結論正確，

理由如下：如圖2中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC交EC的延長線于N．

∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉得到，

∴BC＝CE，AC＝CD，

∵∠ACN＋∠BCN＝90°，∠DCM＋∠BCN＝180°﹣90°＝90°，

∴∠ACN＝∠DCM，

在△ACN和△DCM中，

，

∴△ACN≌△DCM（AAS），

∴AN＝DM，

∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），

即S△BDC＝S△AEC．