Question

如圖1，正方形ABCD中，有一直徑為BC=2cm 的半圓O．兩點E、F分別從點B、點A同時出發，點E沿線段BA以1cm/s的速度向點A運動，點F沿折線A-D-C以2cm/s的速度向點C運動．設點E離開點的B時間為t（s），其中1≤t＜2．
（1）當t為何值時，線段EF和BC平行？
（2）EF能否與半圓O相切？如果能，求出t的值；如果不能，請說明原因．
（3）如圖2，設EF與AC相交于點P，當點E、F運動時，點P的位置是否發生變化？若發生變化，請說明理由；若不發生變化，也請說明理由，并求AP：PC的值．
變式：如圖3，若將上題改為，正方形ABCD中，有一直徑為BC=2cm的半圓O．點E為AB邊上的動點（不與點A、B重合），過點E與圓O相切的直線交CD所在直線為點F，設EB=x，FD=y．
（1）試寫出y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．
（2）是否存在切線EF，把正方形ABCD的周長分成相等的兩部分？若存在，求出x的值．若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖1，設E、F出發后運動了t s時，有EF和BC平行．
則BE=t，DF=2t-2．
∴t=4-2t．
解得t=．
∴當t=s時，線段EF和BC平行．

（2）設E、F出發后運動了t秒時，EF與半圓相切．
作OM⊥EF于點M，ON∥CF交EF于點N，KF∥BC交AB于點K，如圖2．則
OM=1，BE=t，CF=4-2t，EK=t-（4-2t）=3t-4，ON=[t+（4-2t）]=2-t．
在Rt△OMN中，MN²=ON²-OM²=4t²-8t+3．
∵△OMN∽△FKE，∴，
將有關數據代入上式并整理，得2t²-4t+1=0
解得t=．
∵1＜t＜2，∴t=．
∴當t=s時，線段EF與半圓相切．

（3）當1≤t＜2時，點P的位置不會發生變化．
證明：設1≤t＜2時，E、F出發后運動了t秒時，EF位置如圖
則BE=t，AE=2-t，CF=4-2t
∴
又∵AB∥DC∴△AEP∽△CFP
∴，即點P的位置與t的取值無關．
∴當1≤t＜2時，點P的位置不會發生變化，且AP：PC的值為．
變式題答案：

（1）如圖（1），當F點在CD的延長線上，過E作EH⊥DC，交DC于F點，易證EB=EM=x，MF=FC=FD+DC=y+2，
在Rt△EHF中，由勾股定理得EH²+FH²=EF²，
即2²+（y+2-x）²=（x+2+y）²，
整理得xy+2x-1=0，
∴
∵1-2x＞0
∴
∴點F在DC上的函數關系式為（）
如圖（2），當E點重合于D點時，即FD=y=0，易求出EM=EB=HC=x，DM=DC=2，
∴DH=DC-HC=2-x，
即在Rt△EHD中，ED²=EH²+HD²，
∴（x+2）²=2²+（2-x）²，
解得，
如圖（3），當F點在DC上，在Rt△EHF中，
由勾股定理得EH²+FH²=EF²，
即2²+（y-2+x）²=（x+2-y）²，
整理得xy=2x-1，
∴，
∵2x-1＞0，
∴，
∴點F在DC上的函數關系式為（）；

（2）如圖（3），假設EF把正方形周長分成相等兩部分，即EA+AD+DF=EB+BC+CF，
∴2-x+2+y=x+2+2-y整理得x=y
由上面可知，=x，解得x=1，
∴存在切線EF，把正方形的周長分成相等的兩部分，此時x=1．
分析：（1）線段EF和BC平行時，AE=DF，2-t=2t-2，解方程就可以求出其t值．
（2）當EF與半圓O相切時，根據切線的性質，作輔助線如圖，利用勾股定理和相似三角形的性質就可以求出其t的值．
（3）當1≤t＜2時，△AEP∽△CFP，就可以求出點P的位置不會發生變化AP：PC=AE：CF，而AE：CF是個定值為．
變式（1），當F點在CD的延長線上在Rt△EHF中；當E點重合于D點時，在Rt△EHD中；當F點在DC上，在Rt△EHF中；運用切線的性質及勾股定理建立等量關系就可以求出y關于x的函數關系式．
（2）假設EF把正方形周長分成相等兩部分，即EA+AD+DF=EB+BC+CF，從而得出2-x+2+y=x+2+2-y，可以求出x與y的關系，代入圖3的解析式就可以求出其值．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，正方形的性質，直線與圓的位置的關系，圓的切線的性質，勾股定理的運用．