Question

【題目】 如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點H，點G在弧BD上，連接AG，交CD于點K，過點G的直線交CD的延長線于點E，交AB的延長線于點F，且EG＝EK．

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為13，CH＝12， ，求FG的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）FG＝2．

【解析】

（1）連接OG，首先證明∠EGK=∠EKG，再證明∠HAK+∠KGE=90°，進而得到∠OGA+∠KGE=90°即GO⊥EF，進而證明EF是⊙O的切線；
（2）連接CO，解直角三角形即可得到結論．

（1）證明：連接OG，

∵弦CD⊥AB于點H，

∴∠AHK＝90°，

∴∠HKA+∠KAH＝90°，

∵EG＝EK，

∴∠EGK＝∠EKG，

∵∠HKA＝∠GKE，

∴∠HAK+∠KGE＝90°，

∵AO＝GO，

∴∠OAG＝∠OGA，

∴∠OGA+∠KGE＝90°，

∴GO⊥EF，

∴EF是⊙O的切線；

（2）解：連接CO，在Rt△OHC中，

∵CO＝13，CH＝12，

∴HO＝5，

∴AH＝8，

∵=，

∴OF＝15，

∴FG＝＝＝2 ．