Question

如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O是邊AD上的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)EO到F，使得OE=OF．
（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AEDF是菱形？（直接寫(xiě)出答案）
（2）若矩形ABCD的周長(zhǎng)為20，四邊形AEDF的面積是否存在最大值？如果存在，請(qǐng)求出最大值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若AB=m，BC=n，當(dāng)m、n滿足什么條件時(shí)，四邊形AEDF能成為一個(gè)矩形？（不必說(shuō)明理由）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AB=CD，∠B=∠C=90°，求出四邊形是平行四邊形，根據(jù)勾股定理求出AE=DE，即可得出答案．
（2）求出S_{四邊形AEDF}=2S_△AED=S_矩形ABCD，設(shè)AB=x，則BC=10-x，四邊形AEDF的面積為y，求出y=x（10-x），求出二次函數(shù)的最值即可．
（3）根據(jù)矩形能推出△BAE∽△CED，得出比例式，代入得出方程，求出方程的判別式，即可得出答案．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AEDF是菱形，
理由是：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，
∵E為BC中點(diǎn)，
∴BE=CE，
由勾股定理得：AE=DE，
∵點(diǎn)O是邊AD上的中點(diǎn)，OE=OF，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∴平行四邊形AEDF是菱形．
    
（2）存在，
∵點(diǎn)O是AD的中點(diǎn)，
∴AO=DO，
∵OE=OF，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∴S_{四邊形AEDF}=2S_△AED=S_矩形ABCD，
設(shè)AB=x，則BC=10-x，四邊形AEDF的面積為y，
y=x（10-x）
=-x²+10x
=-（x-5）²+25，
當(dāng)x=5時(shí)，四邊形AEDF的面積最大為25．

（3）當(dāng)m≤

1

2

n時(shí)，四邊形AEDF能成為一個(gè)矩形，
理由是：設(shè)BE=z，則CE=n-z，
當(dāng)四邊形AEDF是矩形時(shí)，∠AED=90°，
∵∠B=∠C=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠DEC=90°，
∴∠BAE=∠DEC，
∴△BAE∽△CED，
∴

AB

CE

=

BE

CD

，
∴

m

n-z

=

z

m

，
∴z²-nz+m²=0，
當(dāng)判別式△=（-n）²-4m²≥0時(shí)，方程有根，即四邊形AEDF是矩形，
解得：m≤

1

2

n，
∴當(dāng)m≤

1

2

n時(shí)，四邊形AEDF能成為一個(gè)矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定，二次函數(shù)的最值，平行四邊形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．