Question

【題目】 在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，四邊形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，OA=4，OC=2，點P，點Q分別是邊BC，邊AB上的點，連結AC，PQ，點B1是點B關于PQ的對稱點．

（1）若四邊形OABC為長方形，如圖1，

①求點B的坐標；

②若BQ=BP，且點B1落在AC上，求點B1的坐標；

（2）若四邊形OABC為平行四邊形，如圖2，且OC⊥AC，過點B1作B1F∥x軸，與對角線AC，邊OC分別交于點E，點F．若B1E：B1F=1：3，點B1的橫坐標為m，求點B1的縱坐標（用含m的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）①B（4，2）；②B1（，）；（2）或．

【解析】

（1）①根據矩形的性質，求出，的長度即可求出點的坐標；

②先利用待定系數法求直線的解析式，再根據的位置特點表示坐標，最后將所表示的坐標代入直線的解析式求解即得；

（2）分兩種情形：當點在線段的延長線上時，延長與軸交于點；當點在線段（除點，外）上時，延長與軸交于點，再根據點B1的橫坐標為m列出關于FG的方程并分別求解即可．

解：（1）①∵，，四邊形是矩形

∴，，

∵在第一象限

∴

②設

則

如下圖：設直線的解析式是

∵，

∴，

把,代入得：

解得：

∴直線的解析式是

把代入得：

解得：

∴即

（2）在上取中點，連接，過作于點

∵，，

∴

∴是等邊三角形

∴，

∴在中，，，

∴

∵B1F∥x軸

∴

當點在線段的延長線上時，如下圖：延長與軸交于點

∵

∴

設，則

∴，

∴

∵

∴

解得：

∵在中，

∴點的縱坐標為．

當點在線段（除點，外）上時，如下圖：延長與軸交于點

∵

∴

設，則

∴，

∴

∵

∴

解得：

∵在中，

∴點的縱坐標為．

綜上所述，滿足條件的的縱坐標為或．