Question

已知，如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O₁，AB=AC，⊙O₂與BC相切于點(diǎn)B，與AB相交于點(diǎn)E，與⊙O₁相交于點(diǎn)D，直線AD交⊙O₂于點(diǎn)F，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
求證：（1）∠G=∠AFE；（2）AB•EB=DE•AG．

Answer 1

證明：（1）連接BD．
∵∠FEB=∠FDB，∠FDB=∠C，
∴∠FEB=∠C．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∴∠FEB=∠ABC．
∴EF∥CG．
∴∠G=∠AFE．

（2）連接BF．
∵∠ADE=∠ABF，∠DAE=∠BAF，
∴△ADE∽△ABF．
∴

DE

BF

=

AE

AF

．
又∵EF∥CG，
∴

AE

AF

=

AB

AG

即

DF

BF

=

AB

AG

．
∵∠BEF=∠ABC，∠ABC=∠BFE，
∴∠BEF=∠BFE．
∴BE=BF．
∴

DE

BE

=

AB

AG

，即AB•EB=DE•AG．