Question

【題目】綜合與探究

已知：、是方程的兩個實數根，且，拋物線的圖像經過點、．

（1）求這個拋物線的解析式；

（2）設（1）中拋物線與軸的另一交點為，拋物線的頂點為，試求出點、的坐標和的面積；

（3）是線段上的一點，過點作軸，與拋物線交于點，若直線把分成面積之比為的兩部分，請直接寫出點的坐標 ；

（4）若點在直線上，點在平面上，直線上是否存在點，使以點、點、點、點為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x24x+5；（2）15；（3）(,0)或(,0)；（4）存在M點，M點坐標為(7,12)或

【解析】

（1）通過解方程即可求出p、q的值，那么A、B兩點的坐標就可求出．然后根據A、B兩點的坐標即可求出拋物線的解析式．

（2）根據（1）得出的拋物線的解析式即可求出C、D兩點的坐標．由于△BCD的面積無法直接求出，可用其他圖形的面積的“和，差關系”來求出．過D作DM⊥x軸于M，那么△BCD的面積=梯形DMOB的面積+△DCM的面積-△BOC的面積．由此可求出△BCD的面積．

（3）由于△PCH被直線BC分成的兩個小三角形等高，因此面積比就等于底邊的比．如果設PH與BC的交點為E，那么EH就是拋物線與直線BC的函數值的差，而EP就是E點的縱坐標．然后可根據直線BC的解析式設出E點的坐標，然后表示出EH，EP的長．進而可分兩種情況進行討論：①當EH=EP時；②當EH=EP時．由此可得出兩個不同的關于E點橫坐標的方程即可求出E點的坐標．也就求出了P點的坐標．

（4）分兩種情況討論，當CD=DM和當時，根據M點在直線BC上設出M點坐標，根據兩點間距離公式列出方程即可求解出M點坐標．

解方程x26x+5=0，

(x1)(x5)=0，

得x1=5，x2=1

∵，

∴p=1，q=5

∴點A、B的坐標分別為A(1,0)，B(0,5)．

將A(1,0)，B(0,5)的坐標分別代入y=x2+bx+c．

得

得：

∴拋物線的解析式為y=x24x+5

故答案為：y=x24x+5

(2)∵y=x24x+5，

令y=0，得x24x+5=0，

得x1=5，x2=1，

∴C點的坐標為(5,0)

∵，

∴點D(2,9)

過D作x軸的垂線交x軸于M

∴S△DMC=×9×(52)=

S梯形MDBO=×2×(9+5)=14，

S△BOC=×5×5=

∴S△BCD=S梯形MDBO+S△DMCS△BOC=14+=15

故答案為：15

(3)設P點的坐標為(a,0)

∵B(0,5)，C (5,0)

設BC直線的解析式為y=kx+b

∴

∴

∴BC所在的直線解析式為y=x+5

設PH與直線BC的交點坐標為E(a,a+5)，

PH與拋物線y=x24x+5的交點坐標為H(a,a24a+5)

∵①EH=EP，

即(a24a+5)(a+5)=(a+5)

∴a=或a=5(舍去)

②EH=EP，

即(a24a+5)(a+5)=(a+5)

∴a=或a=5(舍去)，

P點的坐標為(,0)或(,0)

故答案為：(,0)或(,0)

（4）①∵M在直線BC上，設M(m,m+5)

若使四邊形CDMN為菱形，則CD=DM

∵C(-5,0)，D(-2,9)

∴

解得m=-5或m=7

m=-5時，恰好為C點，不符合題意舍去

∴m=7

∴M(7,12)

②∵直線BC上存在一點，設

若使四邊形是菱形，則

∵C(-5,0)，D(-2,9)

∴

解得

∴

綜上所述在直線BC上存在一點M，且以點、點、點、點為頂點的四邊形為菱形，此時M點坐標為(7,12)或

故答案為：存在M點，M點坐標為(7,12)或