Question

在△ABC中，P是BC邊上的一個動點，以AP為直徑的⊙O分別交AB、AC于點E和點F．
（1）若∠BAC=45°，EF=4，則AP的長為多少？
（2）在（1）條件下，求陰影部分面積．
（3）試探究：當點P在何處時，EF最短？請直接寫出你所發現的結論，不必證明．

Answer 1

（1）連接OE、OF．
∵∠EOF=2∠EAF，∠EAF=45°，
∴∠EOF=90°；
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴OE=

2

2

EF=2

2

，
∴直徑AP=2OE=4

2

；

（2）S_陰影=S_扇形EOF-S_△EOF=

90π•(2 2 )2

360

-

1

2

×2

2

×2

2

=2π-4；

（3）在三角形OEP中，根據垂徑定理和勾股定理知，當OP取最小值時，EF的值最小；又根據點到直線的距離垂線段最短垂線段最短知當AP⊥BC時，AP最短．
所以當AP⊥BC時，EF最短．