Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠B、∠C的平分線交于P，且分別與AD交于E、F，

（1）求證：△BPC為直角三角形；

（2）若BC＝16，CD=3，PE＝8，求△PEF的面積．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)24.

【解析】由平行四邊形的性質(zhì)得∠ABC+∠BCD=180°，由角平分線的定義可得∠PBC+∠BCP=90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和可求∠BPC=90°；

（2）先根據(jù)等角對(duì)等邊說(shuō)明AB=AE=3，CD=DF=3，從而可求EF=10，根據(jù)勾股定理求出PF的長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可.

（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴∠ABC+∠BCD=180°，

∵∠B、∠C的平分線交于P，

∴∠PBC+∠BCP=（∠ABC+∠BCD ）=90°

∴∠BPC=90°，即△BPC為直角三角形；

（2）由題意可知，∠ABE=∠CBE=∠BEA，∠DCF=∠CBF=∠CFD，

∴AB=AE=3，CD=DF=3，

∴EF=10，

∴Rt△REF中，PE＝8 ，EF=10，

∴PF＝6，

∴△PEF的面積=24