Question

【題目】如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中，.

（1）操作發現

①固定，使繞點C旋轉.當點D恰好落在AB邊上時（如圖2）；線段DE與AC的位置關系是________，請證明；

②設的面積為，的面積為，則與的數量關系是________.

（2）猜想論證

當繞點C旋轉到圖3所示的位置時，小明猜想（1）中與的數量關系仍然成立，請你分別作出和中BC、CE邊上的高，并由此證明小明的猜想.

（3）拓展探究

己知，點D是其角平分線上一點，，交BC于點E（如圖4），請問在射線BA上是否存在點F，使，若存在，請直接寫出符合條件的點F的個數，若不存在，請說明理由.

圖1 圖2

圖3 圖4

Answer 1

【答案】（1） 理由見解析，；（2）見解析；（3）存在兩個.

【解析】

（1）①根據旋轉的性質可得，然后求出是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得，然后根據內錯角相等，兩直線平行解答；

②根據等邊三角形的性質可得AC＝AD，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC＝AB，然后求出AD＝BD，再根據等邊三角形的性質求出點C到AB的距離等于點D到AC的距離，然后根據等底等高的三角形的面積相等解答；

（2）根據旋轉的性質可得BC＝CE，AC＝CD，再求出∠ACN＝∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據全等三角形對應邊相等可得AN＝DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明．

（3）過點D作，求出四邊形是菱形，根據菱形的對邊相等可得，然后根據等底等高的三角形的面積相等可知點為所求的點，過點D作，求出，從而得到是等邊三角形，然后求出，再求出，利用“邊角邊”證明全等，根據全等三角形的面積相等可得點也是所求的點．

（1）①，

下面證明：由題意，又由旋轉得，

所以是等邊三角形.

所以，于是，所以.

②∵AC＝AB，AD＝AC，

∴AD＝BD，

∴

∵DE∥AC，

∴，

∴.

故答案為：DE∥AC，．

（2）如圖，

∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉得到，

∴BC＝CE，AC＝CD，

∵∠ACN＋∠BCN＝90°，∠DCM＋∠BCN＝180°90°＝90°，

∴∠ACN＝∠DCM，

在和中，

，

∴（AAS），

∴AN＝DM，

∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），

即．

（3）如圖，過點D作交AB于．

∵，

∴四邊形是平行四邊形，

∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，

∴，

∵，

∴ ，

∴，

∴，

∴四邊形是菱形，

∴，

∵BE、上的高相等，

∴,

∴點是所求的點；

過點D作，

∵,，

∴

∵，

∴，

∴是等邊三角形，

∴，

∵BD＝CD，

∴∠DBC＝∠DCB＝30°，

∴

∴，

＝360°150°60°＝150°，

∴，

∵在和中，

∴（SAS），

∴

∵,

∴

∴點也是所求的點，

∴在射線BA上存在點F的個數有兩個.