Question

【題目】如圖，中，點是邊上一個動點，過作直線，設交的平分線于點，交的外角平分線于點．

求證：；

當點在上運動到何處時，四邊形為矩形？請說明理由；

當點在上運動時，四邊形能為菱形嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當點在邊上運動到中點時，四邊形是矩形，理由見解析；（3）不可能，理由見解析

【解析】

（1）由直線MN∥BC，MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F，易證得OE=OC，同理可證OC=OF，則可證得OE=OF=OC；
（2）根據平行四邊形的判定以及矩形的判定得出即可．
（3）菱形的判定問題，若使菱形，則必有四條邊相等，對角線互相垂直，進而分析求出即可．

證明：∵是的平分線，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

同理可證，

∴；解：當點在邊上運動到中點時，四邊形是矩形．

理由是：當為的中點時，，

∵，

∴四邊形是平行四邊形，

∵平分，平分，

∴，

∴平行四邊形是矩形．解：不可能．

理由如下：如圖，連接，

∵平分，平分，

∴，

若四邊形是菱形，則，

但在中，不可能存在兩個角為，所以不存在其為菱形．