Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，點P從點A出發，沿邊AB向點B以1厘米/秒的速度移動，同時，Q點從B點出發沿邊BC向點C以2厘米/秒的速度移動，如果P、Q兩點分別到達B、C兩點后就停止移動．據此解答下列問題：
（1）運動開始第幾秒后，△PBQ的面積等于8平方厘米；
（2）設運動開始后第t秒時，五邊形APQCD的面積為S平方厘米，寫出S與t的函數關系式，并指出自變量的取值范圍；
（3）求出S的最小值及t的對應值．

Answer 1

【答案】分析：（1）我們可通過設運動時間，用方程來求出這個時間值，如果設運動的時間為x秒，那么根據P、Q的速度，我們可得出AP=x，BQ=2x，那么BP=6-x．由此可根據三角形的面積公式來得出方程：×BP×BQ=（6-x）×2x=6x-x²=8．即：x²-6x+8=0，解得x=2，x=4，這樣就求出了時間的值；
（2）求五邊形APQCD的面積，我們可先求出三角形的面積，然后根據五邊形的面積=矩形ABCD的面積-三角形BPQ的面積來列函數式，三角形的面積表示方法我們已經在（1）中得出，只需將x換成t，而矩形的長和寬都已知，因此可根據上面的等量關系來列出S、t的函數式．根據邊長不為負數可得出t的取值范圍；
（3）此題求的是二次函數的最值問題，根據（2）的函數的性質以及自變量的取值范圍，用配方法或公式法求解都可以．
解答：解：（1）運動開始第2秒或第4秒時，△PBQ的面積等于8平方厘米；

（2）根據題意，得S=6×12-（6-t）•2t，
所以S=t²-6t+72，其中t大于0且小于6；

（3）由S=t²-6t+72，得S=（t-3）²+63．
因為t大于0，
所以當t=3秒時，S_最小=63平方厘米．
點評：本題主要考查了二次函數的應用，求二次函數的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法，當二次系數a的絕對值是較小的整數時，用配方法較好．