Question

在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，tan∠ADC=2．
（1）求DC的長；
（2）E為梯形內一點，F為梯形外一點，若BF=DE，∠FBC=∠CDE，試判斷△ECF的形狀，并說明理由．
（3）在（2）的條件下，若BE⊥EC，BE：EC=4：3，求DE的長．

Answer 1

解：（1）過A點作AG⊥DC，垂足為G，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠ABC=90°，
∴四邊形ABCG為矩形，
∴CG=AB=5，AG=BC=10，
∵tan∠ADG==2，
∴DG=5，
∴DC=DG+CG=10；

（2）∵DE=BF，∠FBC=∠CDE，BC=DC，
∴△DEC≌△BFC，
∴EC=CF，∠ECD=∠FCB，
∵∠BCE+∠ECD=90°，∠ECF=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形；

（3）過F點作FH⊥BE，
∵BE⊥EC，CF⊥CE，CE=CF，
∴四邊形ECFH是正方形，
∵BE：EC=4：3，∠BEC=90°，
∴BC²=BE²+EC²，
∴EC=6，BE=8，
∴BH=BE-EH=2，
∴DE=BF=．
分析：（1）要求DC的長，過A點作AG⊥DC，垂足為G，只需求DG+CG，在直角三角形AGD中，可求DG=5，所以DC=10；
（2）由已知可證△DEC≌△BFC，得EC=CF，∠ECD=∠FCB，由∠BCE+∠ECD=90°，得∠ECF=90°，即△ECF是等腰直角三角形；
（3）在（2）的條件下，過F點作FH⊥BE，要求DE的長，只需求BF的長，在直角三角形BGF中，FG=CE=EG，由勾股定理可求．
點評：本題考查了全等三角形的判定，直角三角形的性質以及三角函數和勾股定理的綜合運算．