Question

【題目】已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點D為BC的中點，∠EDF=90°．

（1）（觀察發現）如圖①，若點E、F分別為AB、AC上的點，則圖中全等三角形一共有 對；

（2）（類比探究）若將∠EDF繞點D在平面內旋轉，當旋轉到E、F點分別在AB、CA延長線上時，BE=AF嗎？請利用圖②說明理由．

（3）（解決問題）連結EF，把△EDF把繞點D在平面內旋轉，當旋轉到DF與△ABC的腰所在的直線垂直時，請直接寫出∠BDF的度數.

Answer 1

【答案】（1）3；（2）BE=AF；見解析；（3）45°或135°．

【解析】

（1）有3對，即△EDB≌△FDA，△EDA≌△FDC，△ADB≌△ADC.根據等腰三角形的性質可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD，根據同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可證出△BDE≌△ADF（ASA），其余同理可證得；
（2）根據等腰三角形的性質及等角的補角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根據同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可證出△EDB≌△FDA（ASA），再根據全等三角形的性質即可得出BE=AF．

（3）畫出符合條件的圖形即可求解.

（1）有3對，即△EDB≌△FDA，△EDA≌△FDC，△ADB≌△ADC.證明如下：

∵AB=AC，點D為BC的中點，

∴∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD，

∴△ADB≌△ADC；

∵∠EDB+∠EDA=90°，∠EDA+∠FDA=90°，

∴∠EDB=∠FDA．

在△EDB和△FDA中，，

∴△EDB≌△FDA，

同理可證△EDA≌△FDC.

（2）BE=AF，證明如下：

連接AD，如圖②所示．

∵∠ABD=∠BAD=45°，

∴∠EBD=∠FAD=135°．

∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，

∴∠EDB=∠FDA．

在△EDB和△FDA中，，

∴△EDB≌△FDA（ASA），

∴BE=AF．

（3）45°或135°．如圖所示：

∵DF⊥AC,

∴∠CDF=45°,

∴∠BDF=135°；

或者

∵DF⊥AB,

∴∠BDF=45°；

故答案是：45°或135°．