Question

【題目】已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分線OM上有一點C，將一個三角板的直角頂點與C重合，它的兩條直角邊分別與OA，OB(或它們的反向延長線)相交于點D，E.
當三角板繞點C旋轉到CD與OA垂直時(如圖①)，易證：OD＋OE＝ OC；
當三角板繞點C旋轉到CD與OA不垂直時，即在圖②，圖③這兩種情況下，上述結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段OD，OE，OC之間又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

【答案】證明：過點C分別作OA，OB的垂線，垂足分別為P，Q.

有△CPD≌△CQE，
∴DP＝EQ，
∵OP＝OD＋DP，OQ＝OE－EQ，
又∵OP＋OQ＝ OC，
即OD＋DP＋OE－EQ＝ OC，
∴OD＋OE＝ OC.
圖③不成立，
有數量關系：OE－OD＝ OC
過點C分別作CK⊥OA， CH⊥OB， ∵OC為∠AOB的角平分線，且CK⊥OA，CH⊥OB， ∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°， 又∵∠KCD與∠HCE都為旋轉角， ∴∠KCD=∠HCE， ∴△CKD≌△CHE， ∴DK=EH， ∴OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK， 由（1）知：OH+OK= OC， ∴OD，OE，OC滿足OE-OD= OC．
【解析】模仿第1種特例，過點C作垂線，構造出全等的三角形，即△CPD≌△CQE，由對應邊相等可得出另兩個類似的結論.