Question

如圖，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點C與點A重合，折痕交AD于點E、交BC于點F，連接AF、CE.

(1)求證：四邊形AFCE為菱形；

(2)設AE=a，ED=b，DC=c.請寫出一個a、b、c三者之間的數量關系式．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF=∠EFC。

由折疊的性質，可得：∠AEF=∠CEF，AE=CE，AF=CF，∴∠EFC=∠CEF。

∴CF=CE。∴AF=CF=CE=AE。∴四邊形AFCE為菱形。

（2）解：a、b、c三者之間的數量關系式為：a²=b²+c²。理由如下：

由折疊的性質，得：CE=AE。

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=90°。

∵AE=a，ED=b，DC=c，∴CE=AE=a。

在Rt△DCE中，CE²=CD²+DE²，

∴a、b、c三者之間的數量關系式可寫為：a²=b²+c²。

【解析】翻折變換（折疊問題），矩形的性質，折疊的性質，平等的性質，菱形的判定，勾股定理。

【分析】（1）由矩形ABCD與折疊的性質，易證得△CEF是等腰三角形，即CE=CF，即可證得AF=CF=CE=AE，即可得四邊形AFCE為菱形。

（2）由折疊的性質，可得CE=AE=a，在Rt△DCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之間的數量關系式為：a²=b²+c²。（答案不唯一）