Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，O為原點．點A在x軸的正半軸上，點B在y軸的正半軸上，tan∠OAB=2．二次函數y=x2+mx+2的圖象經過點A，B，頂點為D．

（1）求這個二次函數的解析式；
（2）將△OAB繞點A順時針旋轉90°后，點B落到點C的位置．將上述二次函數圖象沿y軸向上或向下平移后經過點C．請直接寫出點C的坐標和平移后所得圖象的函數解析式；
（3）設（2）中平移后所得二次函數圖象與y軸的交點為B1 ， 頂點為D1 ． 點P在平移后的二次函數圖象上，且滿足△PBB1的面積是△PDD1面積的2倍，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，點B的坐標為（0，2），

∴OB=2，

∵tan∠OAB=2，即 =2．

∴OA=1．

∴點A的坐標為（1，0）．

又∵二次函數y=x2+mx+2的圖象過點A，

∴0=12+m+2．

解得m=﹣3，

∴所求二次函數的解析式為y=x2﹣3x+2

（2）解：作CE⊥x軸于E，

由于∠BAC=90°，可知∠CAE=∠OBA，△CAE≌△OBA，

可得CE=OA=1，AE=OB=2，可得點C的坐標為（3，1）．

由于沿y軸運動，故圖象開口大小、對稱軸均不變，

設出解析式為y=x2﹣3x+c，代入C點作標得1=9﹣9+c，c=1，

所求二次函數解析式為y=x2﹣3x+1．

（3）解：由（2），經過平移后所得圖象是原二次函數圖象向下平移1個單位后所得的圖象，

那么對稱軸直線x= 不變，且BB1=DD1=1．

∵點P在平移后所得二次函數圖象上，

設點P的坐標為（x，x2﹣3x+1）．

在△PBB1和△PDD1中，∵S△PBB1=2S△PDD1，

∴邊BB1上的高是邊DD1上的高的2倍．

①當點P在對稱軸的右側時，x=2（x﹣ ），得x=3，

∴點P的坐標為（3，1）；

②當點P在對稱軸的左側，同時在y軸的右側時，x=2（ ﹣x），得x=1，

∴點P的坐標為（1，﹣1）；

③當點P在y軸的左側時，x＜0，又﹣x=2（ ﹣x），

得x=3＞0（舍去），

∴所求點P的坐標為（3，1）或（1，﹣1）

【解析】（1）二次函數y=x2+mx+2的圖象經過點B，可得B點坐標為（0，2），再根據tan∠OAB=2求出A點坐標，將A代入解析式即可求得函數解析式；（2）根據旋轉不變性可輕松求得C點坐標，由于沿y軸運動，故圖象開口大小、對稱軸均不變，設出解析式，代入C點作標即可求解；（3）由于P點位置不固定，由圖可知要分①當點P在對稱軸的右側時，②當點P在對稱軸的左側，同時在y軸的右側時，③當點P在y軸的左側時，三種情況討論．