Question

【題目】已知：如圖，是半圓的直徑，弦，動點、分別在線段、上，且，的延長線與射線相交于點、與弦相交于點（點與點、不重合），，．設，的面積為．

（1）求證：；

（2）求關于的函數關系式，并寫出的取值范圍

（3）當是直角三角形時，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）（<x<10）.

（3）線段OP的長為8．

【解析】

試題分析：（1）連接OD，通過證明△AOP≌△ODQ后即可證得AP=OQ；

（2）作PH⊥OA，根據cos∠AOC=得到OH=PO=x，從而得到S△AOP=AOPH=3x，利用三角形相似得當對應

邊的比相等即可得到函數解析式；

（3）分類討論：當∠POE=90°時、當∠OPE=90°時、當∠OEP=90°時三種情況討論即可得到正確的結論.

試題解析：（1）連接OD，在△AOP和△ODQ中，∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∵,∴∠OCD=∠COA,∠POA=∠QDO.在△AOP和△ODQ中，

，∴△AOP≌△ODQ，∴AP=OQ；

（2）作PH⊥OA交OA于H，∵cos∠AOC=，∴OH= PO= x，PH=x，

∴S△AOP= AOPH=3x，∵,∴△PFC∽△PAO,，

∴,當點F與點D 重合時，∵CD=2OC cos∠OCD=2×10×=16，

解得x=,∴（<x<10）；

（3）當∠POE=90°時，CQ= ，∴PO=DQ=CD﹣CQ= ,∵<x<10,∴PO=（舍）；

當∠OPE=90°時，∠OPA=90°,∴PO=AOcos∠COA=8；

當∠OEP=90°時，∵,∴∠AOQ=∠DQO=∠APO，∴∠AOP=∠AEO=90°,此時弦CD不存在，此種情況不符合題意，舍；

綜上，線段OP的長為8．