Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AD是⊙O的弦，點F是DA延長線的一點，AC平分∠FAB交⊙O于點C，過點C作CE⊥DF，垂足為點E．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若AE=1，CE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接CO，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∵AC平分∠FAB，

∴∠OCA=∠CAE，

∴OC//FD，

∵CE⊥DF，

∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切線；

（2）證明：連接BC，

在Rt△ACE中，AC= = = ，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠BCA=90°，

∴∠BCA=∠CEA，

∵∠CAE=∠CAB，

∴△ABC∽△ACE，

∴ = ，

∴ ，

∴AB=5，

∴AO=2.5，即⊙O的半徑為2.5．

【解析】（1）證明：連接CO，證得∠OCA=∠CAE，由平行線的判定得到OC//FD，再證得OC⊥CE，即可證得結論；（2）證明：連接BC，由圓周角定理得到∠BCA=90°，再證得△ABC∽△ACE，根據相似三角形的性質即可證得結論．
【考點精析】本題主要考查了角平分線的性質定理和切線的判定定理的相關知識點，需要掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．