Question

【題目】（1）在中，，是平面內任意一點，將線段繞點順時針旋轉與相等的角度，得到線段，連接.

①如圖①，若是線段上的一點，且，，則的大小 （度），的長 ；

②如圖②，點是延長線上的一點，若是內部射線上任意一點，連接，與的數量關系是什么？與的數量關系是什么？并分別給予證明：

（2）如圖③，在中，，，，是上的任意一點，連接，將繞點順時針旋轉，得到線段，連接，求線段長度的最小值（直接寫出結果即可）.

Answer 1

【答案】（1）①， 2；②，；證明見解析；（2）

【解析】

（1）①根據旋轉的性質可得∠NAM=∠BAC，AN=AM，然后可得∠NAB=∠MAC=20°，再利用SAS證明即可得到NB=MC=2；

②同①證明即可；

（2）如圖③，在A1C1上截取A1N＝A1B1，連接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M，利用全等三角形的判定和性質證明B1Q＝PN，推出當PN的值最小時， B1Q的值最小，解直角三角形求出NH的值即可解決問題．

解：（1）①由題意可得：∠NAM=∠BAC，

∴∠NAM－∠BAM =∠BAC－∠BAM，即∠NAB=∠MAC=20°，

又∵AN=AM，AB=AC，

∴，

∴NB=MC=2，

故答案為：20，2；

②，；

證明：將線段繞點順時針旋轉與相等的角度，得到線段，

，

∴∠NAM－∠BAM =∠BAC－∠BAM，

，

在和中，，

，

；

（2）如圖③，在A1C1上截取A1N＝A1B1，連接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．

∵∠C1A1B1＝∠PA1Q，

∴∠QA1B1＝∠PA1N，

∵A1Q＝A1P，A1B1＝A1N，

∴△QA1B1≌△PA1N（SAS），

∴B1Q＝PN，

∴當PN的值最小時， B1Q的值最小，

在Rt△A1B1M中，

∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝8，

∴A1M＝A1B1sin60°＝，

∵∠MA1C1＝∠B1A1C1∠B1A1M＝75°30°＝45°，

∴A1C1＝，

∴NC1＝A1C1A1N＝，

在Rt△NHC1，

∵∠C1＝45°，

∴NH＝，

根據垂線段最短可知，當點P與H重合時，PN的值最小，

∴B1Q的最小值為．