Question

【題目】已知邊長為6的等邊中，是高所在直線上的一個動點，連接，將線段繞點順時針旋轉得到，連接，則在點運動的過程中，當線段長度的最小值時，的長度為__________．

Answer 1

【答案】1.5

【解析】

取BA的中點G，連接EG，證明△EBG≌△FBD，根據全等三角形的性質EG=FD，所以只需要求得EG的最短值就好，根據點到直線的距離垂線段最短，當GE⊥AD時，GE最短.此時在Rt△AGE中可求∠BAD=30°，從而根據直角三角形30°角所對邊是斜邊的一半可求GE=AG=1.5.

解：如圖，取BA的中點G，連接EG，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠BAC=∠CBA=60°，AB=BC
∵旋轉角為60°，
∴∠EBD+∠DBF=60°，
又∵∠EBD+∠EBA=∠CBA=60°，
∴∠DBF=∠ABE，
∵AD是等邊△CBA的高，
∴DB=CB，∠BAD=×∠BAC=30°,

∵G為AB的中點

∴BG=AB，
∴DB=BG，
又∵EB旋轉到BF，
∴BE=BF，
在△EBG和△FBD中，

，
∴△EBG≌△FBD（SAS），
∴EG=FD，
根據點到直線的距離，垂線段最短，EG⊥AD時，EG最短，即DF最短，
此時，

∵∠BAD=30°，AG=AB=×6=3，
∴EG=AG=×3=1. 5，
∴DF=1.5，
故答案為：1.5．