Question

如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．
解答下列問題：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．
①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關系為     ，數量關系為     ．
②當點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結論是否仍然成立，為什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，點D在線段BC上運動．
試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C、F重合除外）？畫出相應圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）
（3）若AC＝，BC=3，在（2）的條件下，設正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點P，求線段CP長的最大值．

Answer 1

（1）①CF與BD位置關系是 垂 直、數量關系是相 等；
②當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立．
由正方形ADEF得  AD="AF" ，∠DAF=90º．
∵∠BAC=90º，∴∠DAF="∠BAC" ，  ∴∠DAB=∠FAC，
又AB="AC" ，∴△DAB≌△FAC ， ∴CF=BD  　　　　
∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90º， AB="AC" ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º，
∴∠BCF="∠ACB+∠ACF=" 90º．即 CF⊥BD
（2）畫圖正確　　　　　　　
當∠BCA=45º時，CF⊥BD（如圖丁）．

理由是：過點A作AG⊥AC交BC于點G，∴AC=AG
可證：△GAD≌△CAF   ∴∠ACF=∠AGD=45º 
∠BCF="∠ACB+∠ACF=" 90º．  即CF⊥BD
（3）當具備∠BCA=45º時，
過點A作AQ⊥BC交BC的延長線于點Q，（如圖戊）

∵DE與CF交于點P時， ∴此時點D位于線段CQ上，
∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．設CD="x" ，∴  DQ=4—x，
容易說明△AQD∽△DCP，∴ ，  ∴，
．
∵0＜x≤3   ∴當x=2時，CP有最大值1．    

解析