Question

如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，EF⊥EC，交AB于點F，連接CF．

（1）圖中的哪些三角形相似？請證明你的判斷；
（2）當矩形ABCD滿足什么條件時，圖中所有的三角形都兩兩相似？請說明理由．

Answer 1

（1）△AEF，△ECF和△DCE兩兩相似 （2）AD：CD=2：

試題分析：（1）兩個角相等的三角形，為相似三角形．設FE與CD的延長線交于G，因為E是AD的中點，證明三角形相等，進而證明相似．
（2）矩形的四個角相等，對邊相等，根據相似三角形的對應邊成比例，求出ED和CD的值，進而求出AD和CD的值．
解：（1）圖中△AEF，△ECF和△DCE兩兩相似．
設FE與CD的延長線交于G，
因為E是AD的中點，CE⊥EF，
所以△AEF≌△DEG，△CEF≌△CEG．
Rt△CEG中ED⊥CG，
所以△CED，△EGD都與△CGE相似．
所以判斷△AEF，△ECF和△DCE兩兩相似為真．
（2）要使圖中三角形全部相似，根據（1），只要使△ECF∽△FCB，
但這兩個直角三角形有公共斜邊，
所以△ECF≌△FCB，
又因為AB與CE不平行，
所以∠2=∠3，但∠2=∠1，
所以∠1=30°．
∴ED：CD=1：．
故要使圖中三角形全部相似的條件是AD：CD=2：．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質定理，矩形的性質定理，相似三角形的判定定理，要熟記這些性質和判定定理可求出解．