Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P， AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）求證：BC＝AB；

（3）點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，若AB＝8，求MN·MC的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）32

【解析】

（1）已知C在圓上，故只需證明OC與PC垂直即可；根據圓周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切線；
（2）AB是直徑；故只需證明BC與半徑相等即可；
（3）連接MA，MB，由圓周角定理可得∠ACM=∠BCM，進而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MNMC；代入數據可得MNMC=BM2=8．

（1）證明：∵OA=OC，　　　

∴∠A=∠ACO

又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，　　

∴∠A=∠ACO=∠PCB．

又∵AB是⊙O的直徑　　　

　∴∠ACO+∠OCB=90°．

∴∠PCB+∠OCB=90°．

即OC⊥CP，

∵OC是⊙O的半徑．　　　

　∴PC是⊙O的切線．

（2）證明：∵AC=PC，　　

∴∠A=∠P，

∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．

又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，

∴∠COB=∠CBO，　　　　

∴BC=OC．

（3）解：連接MB，MA

∵點M是的中點，

∴∠ACM=∠BCM．

∵∠ACM=∠ABM，　　

∴∠BCM=∠ABM．

又∵∠BMN=∠CMB，

∴△MBN∽△MCB．

∴　　

∴

又∵AB是⊙O的直徑，

∴∴∠AMB=90°，AM=BM．

∵AB=8，　　

∴　　

∴