Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（10，0），B（4，8），C（0，8），連接AB，BC，點P在x軸上，從原點O出發，以每秒1個單位長度的速度向點A運動，同時點M從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿折線A﹣B﹣C向點C運動，其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設P，M兩點運動的時間為t秒．

（1）求AB長；
（2）設△PAM的面積為S，當0≤t≤5時，求S與t的函數關系式，并指出S取最大值時，點P的位置；
（3）t為何值時，△APM為直角三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，過點B作BD⊥x軸于點D，

∵A（10，0），B（4，8）C（0，8），

∴AO=10，BD=8，AD=6，

由勾股定理可求得：AB=10

（2）

解：∵AB=10，

∴10÷2=5，

∵0≤t≤5，

∴點M在AB上，

作ME⊥OA于E，

∴△AEM∽△ADB，

∴ ，

∴ ，

∴ME= t，

∴S= PAME= （10﹣t） =﹣ =﹣ （t﹣5）2+20，

∵0≤t≤5，

∴t=5時，S取最大值，此時PA=10﹣t=5，

即：點P在OA的中點處

（3）

解：由題意可知：0≤t≤7，

當點P是直角頂點時，

∴PM⊥AP，

∴PA=10﹣t，

若0≤t≤5時，點M在AB上，如圖2，

此時AM=2t，

∵cos∠BAO= ，

∴ = ，

∴

∴t= ，

若5＜t≤7時，點M在BC上，如圖3，

∴CM=14﹣2t，OP=t，

∴OP=CM，

∴t=14﹣2t，

∴t= ，

當點A是直角頂點時，

此時，∠MAP不可能為90°，此情況不符合題意；

當點M是直角頂點時，

若0≤t≤5時，M在AB上，如圖4，

此時，AM=2t，AP=10﹣t

∵cos∠BAO= ，

∴ ，

∴ ，

∴t= ，

若5＜t≤7時，點M在BC上，如圖5，

過點M作ME⊥x軸于點E，

此時，CM=14﹣2t，OP=t，

∴ME=8，PE=CM﹣OP=14﹣3t，

∴EA=10﹣（14﹣2t）=2t﹣4，

∵∠PMA=∠MEA=90°，

∴∠PME+∠EMA=∠EMA+∠MAP=90°，

∴∠PME=∠MAP，

∴△PME∽△MAE，

∴ ，

∴ME2=PEEA，

∴64=（14﹣3t）（2t﹣4），

∴3t2﹣8t+60=0，

△=﹣656＜0，故此情況不存在；

綜上所述，t= 或 ；

【解析】（1）過點B作BD⊥x軸于點D，利用勾股定理求出AB的長度；（2）先判斷出點M在AB上，然后表示出PA，ME即可用三角形的面積公式即可；（3）△APM為直角三角形時，由于沒有規定哪個頂點是直角頂點，所以分三種情況進行討論；利用銳角三角函數或相似三角形的性質即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解三角形的面積(三角形的面積=1/2×底×高)，還要掌握三角形的穩定性(三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫做三角形的穩定性．三角形的這個性質在生產生活中應用很廣，需要穩定的東西一般都制成三角形的形狀)的相關知識才是答題的關鍵．