Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（4，-），且與y軸交于點C（0，2），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊）．

（1）求拋物線的解析式及A，B兩點的坐標；
（2）在（1）中拋物線的對稱軸l上是否存在一點P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，請說明理由；
（3）在以AB為直徑的⊙M相切于點E，CE交x軸于點D，求直線CE的解析式．

Answer 1

（1）y=x²-x+2  A（2，0），B（6，0）
（2）存在，2
（3）y=-x+2

解：（1）如圖，

由題意，設拋物線的解析式為y=a（x-4）²-（a≠0）
∵拋物線經過（0，2）
∴a（0-4）²-=2
解得：a=，
∴y=（x-4）²-，
即：y=x²-x+2
當y=0時，x²-x+2=0
解得：x=2或x=6
∴A（2，0），B（6，0）；
（2）存在，
如圖2，由（1）知：拋物線的對稱軸l為x=4，

因為A、B兩點關于l對稱，連接CB交l于點P，則AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小
∵B（6，0），C（0，2）
∴OB=6，OC=2
∴BC=2，
∴AP+CP=BC=2，
∴AP+CP的最小值為2；
（3）如圖3，連接ME，

∵CE是⊙M的切線
∴ME⊥CE，∠CEM=90°
由題意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE
∵在△COD與△MED中
，
∴△COD≌△MED（AAS），
∴OD=DE，DC=DM
設OD=x則CD=DM=OM-OD=4-x
則RT△COD中，OD²+OC²=CD²，
∴x²+2²=（4-x）²
∴x=，
∴D（，0）
設直線CE的解析式為y=kx+b
∵直線CE過C（0，2），D（，0）兩點，
則，
解得：。
∴直線CE的解析式為y=-x+2。