Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，tan∠ADC＝2.

（1）求證：DC＝BC；
（2）E是梯形內一點，連接DE、CE，將△DCE繞點C順時針旋轉90°，得△BCF，連接EF.判斷EF與CE的數量關系，并證明你的結論；
（3）在（2）的條件下，當CE＝2BE，∠BEC＝135°時，求cos∠BFE的值.

Answer 1

（1）證明見解析（2）EF＝CE.證明見解析（3）

（1）證明：作AP⊥DC于點P.
∵AB∥CD，∠ABC＝90°，
∴四邊形APCB是矩形，………………………………1分
∴PC＝AB＝2，AP＝BC＝4.
在Rt△ADP中，tan∠ADC＝ 即＝2，
∴DP＝2，
∴DC＝DP＋PC＝4＝BC.…………………………3分
（2）EF＝CE.………………………4分
證明如下：
由△DCE繞點C順時針旋轉90°得△BCF，
∴CF＝CE，∠ECF＝90°，
∴EF＝.  …………………………6分
（3）由（2）得∠CEF＝45°.
∵∠BEC＝135°，
∴∠BEF＝90°.        ………………………………7分
設BE＝a，則CE＝2a，由EF＝CE，則EF＝
在Rt△BEF中，由勾股定理得：BF＝3a，
∴COS∠BFE＝.      ……………………10分
（1）如圖，過A作AP⊥DC于點P，由AB∥CD可以得到∠ABC=90°，然后得到四邊形APCB是矩形，接著利用已知條件可以求出PC=AB=2，AP=BC=4，又在Rt△ADP中，根據tan∠ADC＝可以求出DP=2，接著得到DC=4，由此即可解決問題；
（2）EF=CE．由△DCE繞點C順時針旋轉90°得△BCF，根據旋轉的性質得到CF=CE，∠ECF=90°，然后利用勾股定理即可求出EF；
（3）由（2）得∠CEF=45°，而∠BEC=135°，由此得到∠BEF=90°．設BE=a，則CE=2a，由EF=CE，則EF=2a．在Rt△BEF中，由勾股定理得：BF=3a，然后根據余弦的定義即可求解．