Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD，E是AB延長線上一點，F是DC延長線上一點，連接BF，EF，恰有BF=EF，將線段EF繞點F順時針旋轉90°得FG，過點B作EF的垂線，交EF于點M，交DA的延長線于點N，連接NG．

（1）求證：BE=2CF；
（2）試猜想四邊形BFGN是什么特殊的四邊形，并對你的猜想加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）證明：過F作FH⊥BE，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠FHB=∠HBC=∠BCF=90°，

∴四邊形BCFH為矩形，

∴BH=CF，

又∵BF=EF，

∴BE=2BH，

∴BE=2CF；

（2）解：四邊形BFGN為菱形，證明如下：

∵MN⊥EF，

∴∠E+∠EBM=90°，且∠EBM=∠ABN，

∴∠ABN+∠E=90°，

∵BF=EF，

∴∠E=∠EBF，

∴∠ABN+∠EBF=90°，

又∵∠EBC=90°，

∴∠CBF+∠EBF=90°，

∴∠ABN=∠CBF，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC，∠NAB=∠CBF=90°，

在△ABN和△CBF中

∴△ABN≌△CBF（ASA），

∴BF=BN，

又由旋轉可得EF=FG=BF，

∴BN=FG，

∵∠GFM=∠BME=90°，

∴BN∥FG，

∴四邊形BFGN為菱形．

【解析】（1）過F作FH⊥BE，垂足為H，首先證明四邊形BCFH為矩形，依據矩形的性質可得到BH=CF，然后由H為BE中點，可得BE=2CF；
（2）首先證明△ANB≌△CFB，依據全等三角形的性質可得到BN=BF，然后再證明BN=GF，且BN∥FG，可最后，依據菱形的判定定理進行證明即可.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用菱形的判定方法和正方形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．