Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD，AB=3，點E在線段AB上，AE=1連結DE，DE的垂直平分線交DE于點P，交DC的延長線于點Q，PQ交BC于點G，連結EQ，EQ交BC于點F，連結GE．

（1）求證：△ADE∽△PQD；
（2）求線段CQ的長；
（3）求∠EGB的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴DC∥AB，

∴∠AED=∠PDQ，又∠DAE=∠QPD=90°，

∴△ADE∽△PQD

（2）解：由勾股定理得，DE= = ，

∵PQ是DE的垂直平分線，

∴DP= DE= ，

∵△ADE∽△PQD，

∴ = ，即 = ，

解得，DQ=5，

則CQ=DQ﹣DC=5﹣3=2

（3）解：由勾股定理得，PQ= = ，

∵∠QCG=∠QPD=90°，∠CQG=∠PQD，

∴△CQG∽△PQD，

∴ = ，即 = ，

解得，CG= ，

∴BG=3﹣ = ，

∴tan∠EGB= =

【解析】（1）根據正方形的性質得到DC∥AB，得到∠AED=∠PDQ，根據兩角對應相等的兩個三角形相似證明；
（2）根據勾股定理求出DE，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可；
（3）根據相似三角形的性質求出CG，根據正切的概念計算即可．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對正方形的性質的理解，了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．