Question

【題目】已知為正整數．

（1）證明：不能表示為兩個以上連續整數的乘積；

（2）若能表示為兩個連續整數的乘積，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】

（1）利用反證法，假設能表示為兩個以上連續整數的乘積，則其能被3整除，分別將m=3k，3k+1，3k+2代入，求出余數即可證明；

（2）根據題意設，化簡為關于m的一元二次方程，利用根的判別式得出n的可能取值，再根據m為正整數得到當n=3時成立，從而解出m=2.

解：（1）假設能表示為兩個以上連續整數的乘積，則其能被3整除，

若，則，余數為2，

若，則，余數為1，

若，則，余數為2，

所以矛盾，假設不成立；

（2）∵，n為自然數，

展開并化簡得：，

令△＜0，解得：n＞3.5，即n≥4，此時m無解，

當n=0時，△=4×72，

當n=1時，△=4×82，

當n=2時，△=4×74，

當n=3時，△=4×36，只有此時可得m為整數，

解得：m=2或（舍），

∴m的最大值為2.