Question

【題目】問題探究．

如圖，在平面直角坐標系中，A(0，8)，C(6，0)，以O，A，C為頂點作矩形OABC，動點P從點A出發，沿AO以4個單位每秒的速度向O運動；同時動點Q從點O出發沿OC以3個單位每秒的速度向C運動．設運動時間為t，當動點P，Q中的任何一個點到達終點后，兩點同時停止運動．連接PQ．

（情景導入）當t＝1時，求出直線PQ的解析式．

（深入探究）①連接AC，若△POQ與△AOC相似，求出t的值．

②如圖，取PQ的中點M，以QM為半徑向右側作半圓M，直接寫出半圓M的面積的最小值，并直接寫出此時t的值．

（拓展延伸）如圖，過點A作半圓M的切線，交直線BC于點H，于半圓M切于點N．

①在P，Q的整個運動過程中，點H的運動路徑為　 　．

②若固定點H(6，2)不動，則在整個運動過程中，半圓M能否與梯形AOCH相切？若能，求出此時t的值；若不能，請證明．

Answer 1

【答案】【情景導入】y＝﹣x＋4；【深入探究】①1或；②；【拓展延伸】①；②能，t＝0或t＝2或t＝．

【解析】

【情景導入】

當t＝1時，點P、Q的坐標分別為：(0，4)、(3，0)，將點P、Q的坐標代入一次函數表達式即可求解；

【深入】

①如下圖，tan∠ACO＝，△POQ與△AOC相似，則tan∠PQO＝＝或，即可求解；

②S＝π×（PM）2＝×[（）2＋（4﹣2t）2]＝（﹣16t＋16），即可求解；

【拓展】

①當t＝0時，點H與點B重合；當t＝2時，運動結束，設直線AH與半圓切于點N，則HQ＝NH，則AN＝AO＝8，設HQ＝NH＝a，則BH＝8﹣a，AH＝8＋a，在△ABH中，由勾股定理得：AH2＝AB2＋BH2，即（8＋a）2＝62＋（8﹣a）2，即可求解；

②（Ⅰ）當t＝0時，點P、Q分別與點A、O重合，則半圓M于CO相切；

（Ⅱ）當t＝2時，由①知，半圓M與BC相切；

（Ⅲ）當半圓M與直線AH相切時，則PM＝MN，即（）2＋（4﹣2t）2＝（x﹣）2＋（x﹣2t﹣4）2，即可求解．

解：【情景導入】當t＝1時，點P、Q的坐標分別為：(0，4)、(3，0)，

將點P、Q的坐標代入一次函數表達式：y＝kx＋b得：，解得：，

故直線PQ的表達式為：y＝﹣x＋4；

【深入探究】

點P、Q、M的坐標分別為：(0，8﹣4t)、(3t，0)、(，4﹣2t)，

①如下圖，tan∠ACO＝，

△POQ與△AOC相似，

則tan∠PQO＝＝或，

解得：t＝1或；

②S＝π×（PM）2＝×[（）2＋（4﹣2t）2]＝（﹣16t＋16），

∵＞0，

故S有最小值為，此時t＝；

【拓展延伸】

①當t＝0時，點H與點B重合；

當t＝2時，運動結束，點H的位置如下圖所示，

設直線AH與半圓切于點N，則HQ＝NH，則AN＝AO＝8，

設HQ＝NH＝a，則BH＝8﹣a，AH＝8＋a，

在△ABH中，由勾股定理得：AH2＝AB2＋BH2，

即（8＋a）2＝62＋（8﹣a）2，解得：a＝＝HQ，

則點H運動的路徑為BH＝8﹣＝，

故答案為：；

②（Ⅰ）當t＝0時，點P、Q分別與點A、O重合，則半圓M于CO相切；

（Ⅱ）當t＝2時，由①知，半圓M與BC相切；

（Ⅲ）當半圓M與直線AH相切時，如下圖，設切點為N，

由點A、H的坐標得，直線AH的表達式為：y＝﹣x＋8，

設點N(x，8﹣x)，而點P、Q、M的坐標分別為：(0，8﹣4t)、(3t，0)、(，4﹣2t)，

則PM＝MN，即（）2＋（4﹣2t）2＝（x﹣）2＋（x﹣2t﹣4）2，

整理得：2x2﹣（7t＋8）x＋32t＝0，

由題意得：△＝（7t＋8）2﹣8×32t＝0，

即49t2﹣144t＋64＝0，

解得：t＝（不合題意的值已舍去）；

綜上，t＝0或t＝2或t＝．