Question

（本小題滿分１２分）如圖， 內接于，的平分線與交于點，與交于點，延長，與的延長線交于點，連接是的中點，連結．

（1）判斷與的位置關系，寫出你的結論并證明；
（2）求證：；
（3）若，求的面積．

Answer 1

（1）猜想：．
證明：如圖，連結OC、OD．
∵，G是CD的中點，
∴由等腰三角形的性質，有．
（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°．
而∠CAE＝∠CBF（同弧所對的圓周角相等）．
在Rt△ACE和Rt△BCF中，
∵∠ACE=∠BCF＝90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，
∴Rt△ACE≌Rt△BCF （ASA）
∴． 
（3）解：如圖，過點O作BD的垂線，垂足為H．則H為BD的中點．
∴OH＝AD，即AD=2OH．
又∠CAD＝∠BADCD=BD，∴OH=OG．
在Rt△BDE和Rt△ADB中，
∵∠DBE＝∠DAC＝∠BAD，
∴Rt△BDE∽Rt△ADB
∴，即
∴
又，∴．
∴                  … ①
設，則，AB=．
∵AD是∠BAC的平分線，
∴．
在Rt△ABD和Rt△AFD中，
∵∠ADB=∠ADF＝90°，AD=AD，∠FAD＝∠BAD，
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）．
∴AF=AB=，BD=FD．
∴CF=AF-AC=
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
     …②  
由①、②，得．
∴．解得或（舍去）．
∴
∴⊙O的半徑長為．
∴ 

略