Question

【題目】閱讀下列材料：

已知：如圖1，等邊△A1A2A3內接于⊙O，點P是上的任意一點，連接PA1，PA2，PA3，可證：PA1+PA2=PA3，從而得到：是定值．

（1）以下是小紅的一種證明方法，請在方框內將證明過程補充完整；

證明：如圖1，作∠PA1M=60°，A1M交A2P的延長線于點M．

∵△A1A2A3是等邊三角形，

∴∠A3A1A2=60°，

∴∠A3A1P=∠A2A1M

又A3A1=A2A1，∠A1A3P=∠A1A2P，

∴△A1A3P≌△A1A2M

∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1．

∴，是定值．

（2）延伸：如圖2，把（1）中條件“等邊△A1A2A3”改為“正方形A1A2A3A4”，其余條件不變，請問：還是定值嗎？為什么？

（3）拓展：如圖3，把（1）中條件“等邊△A1A2A3”改為“正五邊形A1A2A3A4A5”，其余條件不變，則= 　（只寫出結果）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）是定值，理由見解析；（3）

【解析】（2）結論：是定值．在A4P上截取AH=A2P，連接HA1．證明PA4=A4+PH=PA2+PA1，同法可證：PA3=PA1+PA2，推出（+1）（PA1+PA2）=PA3+PA4，可得PA1+PA2=（-1）（PA3+PA4），即可解決問題；

（3）結論：則．如圖3-1中，延長PA1到H，使得A1H=PA2，連接A4H，A4A2，A4A1．由△HA4A1≌△PA4A2，可得△A4HP是頂角為36°的等腰三角形，推出PH=PA4，即PA1+PA2=PA4，如圖3-2中，延長PA5到H，使得A5H=PA3．同法可證：△A4HP是頂角為108°的等腰三角形，推出PH=PA4，即PA5+PA3=PA4，即可解決問題；

（1）如圖1，作∠PA1M=60°，A1M交A2P的延長線于點M．

∵△A1A2A3是等邊三角形，

∴∠A3A1A2=60°，

∴∠A3A1P=∠A2A1M

又A3A1=A2A1，∠A1A3P=∠A1A2P，

∴△A1A3P≌△A1A2M

∴PA3=MA2，

∵PM=PA1，

∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1．

∴，是定值．

（2）結論：是定值．

理由：在A4P上截取AH=A2P，連接HA1．

∵四邊形A1A2A3A4是正方形，

∴A4A1=A2A1，

∵∠A1A4H=∠A1A2P，A4H=A2P，

∴△A1A4H=△A1A2P，

∴A1H=PA1，∠A4A1H=∠A2A1P，

∴∠HA1P=∠A4A1A2=90°

∴△HA1P的等腰直角三角形，

∴PA4=HA4+PH=PA2+PA1，

同法可證：PA3=PA1+PA2，

∴（+1）（PA1+PA2）=PA3+PA4，

∴PA1+PA2=（-1）（PA3+PA4），

∴．

（3）結論：則．

理由：如圖3-1中，延長PA1到H，使得A1H=PA2，連接A4H，A4A2，A4A1．

由△HA4A1≌△PA4A2，可得△A4HP是頂角為36°的等腰三角形，

∴PH=PA4，即PA1+PA2=PA4，

如圖3-2中，延長PA5到H，使得A5H=PA3．

同法可證：△A4HP是頂角為108°的等腰三角形，

∴PH=PA4，即PA5+PA3=PA4，

∴．