Question

【題目】如圖，以AB為直徑的⊙O交∠BAD的角平分線于C，過C作CD⊥AD于D，交AB的延長線于E．
（1）求證：直線CD為⊙O的切線；
（2）當AB=2BE，且CE= 時，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，如圖所示，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵AC平分∠BAD，

∴∠CAD=∠OCA，

∴∠OAC=∠CAD，

∴OC//AD，

∵AD⊥DE，

∴OC⊥DE，

∵OC為圓O的半徑，

∴CD為圓O的切線；

（2）解：∵AB=2BE，且AB=2OA=2OB，

∴OA=OB=BE=OC，即OC= OE，

在Rt△OCE中，CE= ，

∴OC=1，OE=2，即AE=3，

∴AD= AE=1.5

【解析】（1）連接OC，由OA=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，再由AC為角平分線得到一對角相等，等量代換得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行得到OC與AD平行，根據AD與DC垂直，得到OC與CD垂直，即可得證；（2）由AB=2BE，且AB=2OB，得到OB=BE，進而得到OC等于OE的一半，確定出∠E為30度，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AD的長即可．