Question

【題目】在長方形紙片ABCD中，點E是邊CD上的一點，將△AED沿AE所在的直線折疊，使點D落在點F處．

（1）如圖1，若點F落在對角線AC上，且∠BAC＝54°，則∠DAE的度數為　 °．

（2）如圖2，若點F落在邊BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的長．

（3）如圖3，若點E是CD的中點，AF的沿長線交BC于點G，且AB＝6，AD＝10，求CG的長．

Answer 1

【答案】（1）18；（2）CE的長為；（3）CG的長為．

【解析】

（1）由矩形的性質可知∠BAD＝90°，易知∠DAC的度數，由折疊的性質可知∠DAE＝∠DAC，計算可得∠DAE的度數.

（2）由矩形四個角都是直角及對邊相等的性質及折疊后圖形對應邊相等的性質，結合勾股定理可得BF長，由CF＝BC﹣BF可求出CF長，設CE＝x，則EF＝ED＝6﹣x，在Rt△CEF中，根據勾股定理求出x值即可；

（3）連接EG，由中點及折疊的性質利用HL定理可證Rt△CEG≌△FEG，結合全等三角形對應邊相等的性質可設CG＝FG＝y，可用含y的代數式表示出AG、BG，在Rt△ABG中，根據勾股定理求解即可.

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝90°，

∵∠BAC＝54°，

∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，

由折疊的性質得：∠DAE＝∠FAE，

∴∠DAE＝∠DAC＝18°；

故答案為：18；

（2）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，

由折疊的性質得：AF＝AD＝10，EF＝ED，

∴BF＝＝＝8，

∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，

設CE＝x，則EF＝ED＝6﹣x，

在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2＝（6﹣x）2，

解得：x＝，

即CE的長為；

（3）連接EG，如圖3所示：

∵點E是CD的中點，

∴DE＝CE，

由折疊的性質得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，

∴∠EFG＝90°＝∠C，

在Rt△CEG和△FEG中，

，

∴Rt△CEG≌△FEG（HL），

∴CG＝FG，

設CG＝FG＝y，

則AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，

在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2＝（10+y）2，

解得：y＝，

即CG的長為．