Question

【題目】在一個三角形中，如果一個角是另一個角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“靈動三角形”．如，三個內角分別為120°，40°，20°的三角形是“靈動三角形”．

如圖，∠MON＝60°，在射線OM上找一點A，過點A作AB⊥OM交ON于點B，以A為端點作射線AD，交線段OB于點C（規定0°< ∠OAC < 90°）．

（1）∠ABO的度數為　 　°，△AOB　 　（填“是”或“不是”靈動三角形）；

（2）若∠BAC＝60°，求證：△AOC為“靈動三角形”；

（3）當△ABC為“靈動三角形”時，求∠OAC的度數．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）詳見解析；（3）∠OAC=80°或52.5°或30°.

【解析】

（1）根據垂直的定義、三角形內角和定理求出∠ABO的度數，根據“智慧三角形”的概念判斷；
（2）根據“智慧三角形”的概念證明即可；
（3）分點C在線段OB和線段OB的延長線上兩種情況，根據“智慧三角形”的定義計算．

（1）答案為：30°；是；

（2）∵AB⊥OM

∴∠BAO＝90°

∵∠BAC＝60°

∴∠OAC＝∠BAO-∠BAC=30°

∵∠MON＝60°

∴∠ACO＝180°-∠OAC-∠MON＝90°

∴∠ACO＝3∠OAC，

∴△AOC為“靈動三角形”；

（3）設∠OAC= x°則∠BAC=90-x, ∠ACB=60+x , ∠ABC＝30°

∵△ABC為“智慧三角形”，

Ⅰ、當∠ABC＝3∠BAC時，°，

∴30＝3（90-x）， ∴x=80

Ⅱ、當∠ABC＝3∠ACB時，

∴30=3（60+x） ∴x= -50 （舍去）

∴此種情況不存在，

Ⅲ、當∠BCA＝3∠BAC時，

∴60+x＝3（90-x），

∴x＝52.5°，

Ⅳ、當∠BCA＝3∠ABC時，

∴60+x＝90°，

∴x＝30°，

Ⅴ、當∠BAC＝3∠ABC時，

∴90-x＝90°，

∴x＝0°（舍去）

Ⅵ、當∠BAC＝3∠ACB時，

∴90-x＝3（60+x），

∴x= -22.5（舍去），

∴此種情況不存在，

∴綜上所述：∠OAC=80°或52.5°或30°。