Question

【題目】已知如圖,在△ABC中,AB=AC,點D是線段BC上一個動點,以AD為腰在線段AD的右側作△ADE,且AD=AE。

(1)如圖①,當∠BAC=∠DAE=90°時,試判斷線段BD和CE有什么關系,并給出證明:

(2)在(1)的條件下,若BC=4.試判斷四邊形ADCE的面積是否發生變化,若不變,求出四邊形ADCE的面積;若變化,請說明理由;

(3)如圖②,若∠BAC=∠DAE=120°,BC=4,試探索△DCE的面積是否存在最大值,若存在,求出此時∠DEC的度數,若不存在,請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）BD=CE，證明見解析；（2）不變，4；（3）存在，60°.

【解析】

（1）根據同角的余角相等，可得∠BAD=∠CAE，運用“SAS”證明△ABD≌△ACE，根據全等三角形性質得出對應邊相等，即可得到線段CE、BD之間的關系；

（2）由（1）得 ，所以 ，可得出四邊形ADCE的面積不發生變化，根據等腰直角三角形的性質得出斜邊BC上的高，即可求出面積；

（3）由 ， 可得的值最小時△DCE的面積存在最大值，由垂線段最短可得AD⊥BC時AD=AE的值最小，則的值最小，根據全等三角形的性質和等腰三角形的性質即可求∠DEC的度數.

（1）BD=CE.

證明：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△DAB與△EAC中，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD=CE；

（2）∵△DAB≌△EAC

∴

∵

∴ ，即四邊形ADCE的面積不發生變化；

∵∠BAC=90°，AB=AC，BC=4

∴Rt△ABC斜邊上的高=2

∴

（3）由（2）得

∵

∴的值最小時△DCE的面積存在最大值，

由垂線段最短可得AD⊥BC時AD=AE的值最小，則的值最小，如下圖，

∵∠BAC=∠DAE=120°，AB=AC，AD=AE

∴∠B=∠ACB=∠AED=30°, ∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△DAB與△EAC中，
∴△DAB≌△EAC（SAS），

∵△DAB≌△EAC，AD⊥BC

∴∠AEC=∠ADB=90°

∴ ∠DEC=90°-30°=60°.

故答案為：（1）BD=CE，證明見解析；（2）不變，4；（3）存在，60°.