Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AD=10，CD=15，E是邊CD上一點，且DE=5，P是射線AD上一動點，過A，P，E三點的⊙O交直線AB于點F，連結PE，EF，PF，設AP=m．

（1）當m=6時，求AF的長．

（2）在點P的整個運動過程中．

①tan∠PFE的值是否改變？若不變，求出它的值；若改變，求出它的變化范圍．

②當矩形ABCD恰好有2個頂點落在⊙O上時，求m的值．

（3）若點A，H關于點O成中心對稱，連結EH，CH．當△CEH是等腰三角形時，求出所有符合條件的m的值．（直接寫出答案即可）

Answer 1

【答案】(1)13;(2)① tan∠PFE的值不變, tan∠PFE=;②m=5;(3) 滿足條件的m的值為10﹣5或10﹣2或或10+3

【解析】

（1）做輔助線，根據勾股定理，相似成比例求值.（2）根據幾何關系和應用公式進而得出tan∠PFE的值不變，再根據題干的特殊條件求出m.（3）根據幾何關系多次利用勾股定理求解.

（1）如圖1中，連接AE．

在Rt△DPE中，∵DE=5，DP=AD﹣AP=4，

∴PE==，

在Rt△ADE中，AE==5，

∵∠PAF=90°，

∴PF是⊙O的直徑，

∴∠PEF=∠ADF=90°，

∵∠DAE=∠PFE，

∴△ADE∽△FEP，

∴=，

∴=，

∴PF=，

在Rt△PAF中，AF===13．

（2）①tan∠PFE的值不變．

理由：如圖1中，∵∠PFE=∠DAE，

∴tan∠PFE=tan∠DAF==．

②如圖2中，當⊙O經過A、D時，點P與D重合，此時m=10．

如圖3中，當⊙O經過A、B時，

在Rt△BCE中，BE==10，

∵tan∠PFE=，

∴PE=5，

∴PD==5，

∴m=PA=5．

如圖4中當⊙O經過AC時，作FM⊥DC交DC的延長線于M．

根據對稱性可知，DE=CM=BF=5，

在Rt△EFM中，EF==5，

∴PE=EF=，

∴PD==，

∴m=AD﹣PD=，

綜上所述，m=10或5或時，矩形ABCD恰好有2個頂點落在⊙O上

（3）如圖5中，當EC=CH時，根據對稱性可知：PE=CH=EC=10，PD==5，

∴m=10﹣5．

如圖6中當EC=EH=10時，

在Rt△AEH中，AH===5，

易知PF=AH=5，

∵∴∴PE：EF：PF=1：2：，

∴PE=，

在Rt△PDE中，DP==2，

∴m=PA=AD﹣PD=10﹣2．

如圖7中當HC=HE時，延長FH交CD于M，則EM=CM=BF=5，HM=，

∴m=PA=HF=10﹣=．

如圖8中，當EH=EC時，

PF=AH===5，

∵PE：EF：PF=1：2：，

∴PE=，

在Rt△PDE中，PD==3，

∴m=PA=AD+PD=10+3，

綜上所述，滿足條件的m的值為10﹣5或10﹣2或或10+3．