Question

【題目】已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根．

（1）求k的取值范圍；

（2）若k取小于1的整數，且此方程的解為整數，則求出此方程的兩個整數根；

（3）在（2）的條件下，二次函數與x軸交于A、B兩點（A點在B點的左側），D點在此拋物線的對稱軸上，若∠DAB=60，直接寫出D點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3），

【解析】分析：（1）根據根的判別式，有兩個不等的實根，根的判別式△=b2-4ac＞0列出關于k的不等式12+8k＞0，求解即可得到k的取值范圍；

（2）利用（1）中k的取值范圍求得k的整數解，然后將其代入關于x的一元二次方程x2-4x+1-2k=0并整理，再根據配方法進行求解；

（3）先求出二次函數的解析式，然后求出拋物線與x軸的交點，從而得到對稱軸的解析式以及AB的長度，再根據∠DAB=60°求出點D到x軸的距離，然后根據點D在AB的上方與下方兩種情況討論得解．

詳解：（1）∵關于x的一元二次方程x2-4x+1-2k=0有兩個不等的實根，

∴△=（-4）2-4×1×（1-2k）=12+8k＞0，

解得，k＞-；

（2）∵k取小于1的整數，

∴k=-1或0，

①當k=-1時，方程為x2-4x+3=0，

即（x-2）2=1，

∴x-2=1或x-2=-1，

解得x1=3，x2=1，

②當k=0時，方程為x2-4x+1=0，

即（x-2）2=3，

∵方程的解為整數，

∴k=0不符合，

∴k=-1，此時方程的兩個整數根是x1=3，x2=1；

（3）如圖所示，根據（2），二次函數解析式為，y=x2-4x+3，

∴點A、B的坐標分別為A（1，0），B（3，0），

∴對稱軸為x=2，

∴AC=（3-1）=1，

∵∠DAB=60°，

∴AD=2AC=2，

∴CD=，

當點D在AB的上方時，坐標為（2，），在AB的下方時，坐標為（2，-），

∴點D的坐標為（2，）或（2，-）．