Question

如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，交BC于D點，交AC于E點，BD=DE
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）若E是AC的中點，⊙O的半徑為2，連接BE，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）利用同弦所對的圓心角相等和圓周解是圓心角的一半等量代換得出∠C=∠ABC，從而得出三角形是等腰三角形．
（2）從圖中可以看出陰影部分的面積=扇形OBD的面積．根據扇形的面積公式計算即可．

解答：（1）證明：∵BD=DE，
∴∠BOD=∠DOE．
∵∠BAC=

1

2

∠BOE，
∴∠BOE=∠BOD=∠DOE．
∵OA=OE，
∴∠BAC=∠OEA．
∴∠OEA=∠DOE．
∴AC∥OD．
∴∠C=∠ODB．
∵∠ABC=∠ODE，
∴∠C=∠ABC．
∴△ABC是等腰三角形．

（2）解：根據扇形面積公式得：

60π×4

360

=

2

3

π．

點評：本題綜合考查了等弦對等角，及圓心角是同弧所對的圓周角的2倍，及扇形的面積公式．