Question

在同一平面直角坐標(biāo)系中有6個點(diǎn)：A（1，1），B（-3，-1），C（-3，1），D（-2，-2），E（-2，-3），F(xiàn)（0，-4）．
（1）畫出△ABC的外接圓⊙P，并指出點(diǎn)D與⊙P的位置關(guān)系；
（2）若將直線EF沿y軸向上平移，當(dāng)它經(jīng)過點(diǎn)D時，設(shè)此時的直線為l₁．
①判斷直線l₁與⊙P的位置關(guān)系，并說明理由；
②再將直線l₁繞點(diǎn)D按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)它經(jīng)過點(diǎn)C時，設(shè)此時的直線為l₂．求直線l₂與⊙P的劣弧CD圍成的圖形的面積．（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析：（1）判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可以比較圓的半徑與點(diǎn)到圓心的距離的大小關(guān)系；
（2）①判斷直線與圓的位置關(guān)系，即是比較圓的半徑與點(diǎn)到直線的距離的大小關(guān)系；
②根據(jù)扇形的面積公式就可以求出面積．

解答：解：（1）所畫⊙P如圖所示，
由圖可知⊙P的半徑為

5

，而PD=

5

．
∴點(diǎn)D在⊙P上．

（2）①∵直線EF向上平移1個單位經(jīng)過點(diǎn)D，且經(jīng)過點(diǎn)G（0，-3），
∴PG²=1²+3²=10，PD²=5，DG²=5．
∴PG²=PD²+DG²．
則∠PDG=90°，
∴PD⊥l₁．
∴直線l₁與⊙P相切．

②∵PC=PD=

5

，CD=

10

，
∴PC²+PD²=CD²．
∴∠CPD=90度．
∴S_扇形=

( 5 )2π

4

=

5

4

π，S△PCD=

1

2

(

5

)2=

5

2

．
∴直線l₂與劣弧CD圍成的圖形的面積為

5π

4

-

5

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系以及直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法；扇形的面積計(jì)算方法．