Question

圖①是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形．

（1）圖②中的陰影部分的面積為

（m-n）²

；
（2）觀察圖②請你寫出三個代數式（m+n）²、（m-n）²、mn之間的等量關系是：

（m-n）²=（m+n）²-4mn

．
（3）若x+y=-6，xy=2.75，則x-y=

±5

．
（4）實際上有許多代數恒等式可以用圖形的面積來表示．如圖③，它表示了

（m+n）（2m+n）=2m²+3mn+n²

．
（5）請你用圖③提供的若干塊長方形和正方形硬紙片圖形，用拼長方形的方法，把下列二次三項式進行因式分解：m²+4mn+3n²．要求：在圖④的框中畫出圖形；寫出分解的因式．

Answer 1

分析：（1）②中的陰影部分為邊長為（a-b）的正方形，然后根據正方形面積公式求解即可；
（2）由于圖②中陰影部分的面積可以表示為（m+n）²-4mn，所以（m-n）²=（m+n）²-4mn；
（3）利用（2）的結論得到（x-y）²=（x+y）²-4xy，再把x+y=-6，xy=2.75代入計算，然后根據平方根的定義求解；
（4）利用圖形的面積不變得到（m+n）（2m+n）=2m²+3mn+n²；
（5）先拼接長方形，然后利用面積之間的關系得到m²+4mn+3n²=（m+n）（m+2n）．

解答：解：（1）圖②中陰影部分的面積等于（m-n）²；
（2）圖②中陰影部分的面積為（m+n）²-4mn，
所以（m-n）²=（m+n）²-4mn；
（3）（x-y）²=（x+y）²-4xy
=（-6）²-4×2.75
=25，
∴x-y=±5；
（4）（m+n）（2m+n）=2m²+3mn+n²；
（5）如圖，m²+4mn+3n²=（m+n）（m+2n）．
故答案為（m-n）²；（m-n）²=（m+n）²-4mn；±5；（m+n）（2m+n）=2m²+3mn+n²．

點評：本題考查了完全平方公式的幾何背景：運用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數量關系對完全平方公式做出幾何解釋．