Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動點P從點D出發沿DA向終點A運動，同時動點Q從點A出發沿對角線AC向終點C運動．過點P作PE∥DC，交AC于點E，動點P、Q的運動速度是每秒1個單位長度，運動時間為x秒，當點P運動到點A時，P、Q兩點同時停止運動．設PE=y；
（1）求y關于x的函數關系式；
（2）探究：當x為何值時，四邊形PQBE為梯形？
（3）是否存在這樣的點P和點Q，使P、Q、E為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD為矩形，得到∠D為直角，對邊相等，可得三角形ADC為直角三角形，由AD與DC的長，利用勾股定理求出AC的長，再由PE平行于CD，利用兩直線平行得到兩對同位角相等，可得出三角形APE與三角形ADC相似，由相似得比例，將各自的值代入，整理后得到y與x的關系式；
（2）若QB與PE平行，得到四邊形PQBE為矩形，不合題意，故QB與PE不平行，當PQ與BE平行時，利用兩直線平行得到一對內錯角相等，可得出一對鄰補角相等，再由AD與BC平行，得到一對內錯角相等，可得出三角形APQ與三角形BEC相似，由相似得比例列出關于x的方程，求出方程的解即可得到四邊形PQBE為梯形時x的值；
（3）存在這樣的點P和點Q，使P、Q、E為頂點的三角形是等腰三角形，分兩種情況考慮：當Q在AE上時，由AE-AQ表示出QE，再根據PQ=PE，PQ=EQ，PE=QE三種情況，分別列出關于x的方程，求出方程的解即可得到滿足題意x的值；當Q在EC上時，由AQ-AE表示出QE，此時三角形為鈍角三角形，只能PE=QE列出關于x的方程，求出方程的解得到滿足題意x的值，綜上，得到所有滿足題意的x的值．
解答：解：（1）∵矩形ABCD，
∴∠D=90°，AB=DC=3，AD=BC=4，
∴在Rt△ACD中，利用勾股定理得：AC==5，
∵PE∥CD，
∴∠APE=∠ADC，∠AEP=∠ACD，
∴△APE∽△ADC，
又PD=x，AD=4，AP=AD-PD=4-x，AC=5，PE=y，DC=3，
∴==，即==，
∴y=-x+3；

（2）若QB∥PE，四邊形PQBE是矩形，非梯形，
故QB與PE不平行，
當QP∥BE時，∠PQE=∠BEQ，
∴∠AQP=∠CEB，
∵AD∥BC，
∴∠PAQ=∠BCE，
∴△PAQ∽△BCE，
由（1）得：AE=-x+5，PA=4-x，BC=4，AQ=x，
∴==，即==，
整理得：5（4-x）=16，
解得：x=，
∴當x=時，QP∥BE，而QB與PE不平行，此時四邊形PQBE是梯形；

（3）存在．分兩種情況：
當Q在線段AE上時：QE=AE-AQ=-x+5-x=5-x，
（i）當QE=PE時，5-x=-x+3，
解得：x=；
（ii）當QP=QE時，∠QPE=∠QEP，
∵∠APQ+∠QPE=90°，∠PAQ+∠QEP=90°，
∴∠APQ=∠PAQ，
∴AQ=QP=QE，
∴x=5-x，
解得：x=；
（iii）當QP=PE時，過P作PF⊥QE于F，

可得：FE=QE=（5-x）=，
∵PE∥DC，∴∠AEP=∠ACD，
∴cos∠AEP=cos∠ACD==，
∵cos∠AEP===，
解得：x=；
當點Q在線段EC上時，△PQE只能是鈍角三角形，如圖所示：

∴PE=EQ=AQ-AE，AQ=x，AE=-x+5，PE=-x+3，
∴-x+3=x-（-x+5），
解得：x=．
綜上，當x=或x=或x=或x=時，△PQE為等腰三角形．
點評：此題屬于相似綜合題，涉及的知識有：矩形的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，平行線的性質，梯形的判定，以及等腰三角形的性質，利用了數形結合及分類討論的數學思想，分類討論時要做到不重不漏，考慮問題要全面．