Question

如圖，等邊△ABC，G是△ABC的重心，直線AG把△ABC分成面積相等的兩部分，但是不是過G點的任意一條直線都把△ABC分成面積相等的兩部分？用實驗或說理的方法，給予探索并得出結論．

Answer 1

分析：顯然不是，可以過G作AB的平行線，分別交AC、BC于E、F，設直線AG與BC的交點為M，問題就變成了三角形CEF和四邊形AEFB的面積關系；可過M作EF的平行線，交AC于N，通過構建相似三角形來得到AE、CE的比例關系，然后根據相似三角形△CEF和△CAB（因為EF∥AB）的相似比求出它們的面積比，從而得到△CEF和四邊形AEFB的面積比是否為1：1．

解答：解：不是．
理由：如圖，過G作直線EF∥AB，交AC于E、BC于F，
設直線AG與BC的交點為M，過M作MN∥EF，交AC于N．
∵G是△ABC的內心，
∴BM=MC，AG=2GM．
∵GE∥MN，
∴

AE

AN

=

AG

AM

=

2

3

，即AE=

2

3

AN．
∵BM=MC，即M是BC的中點，且MN∥EF∥AB，
∴MN是△ABC的中位線，即AN=NC．
∴AE=

2

3

AN=

2

3

NC．
設AE=2x，則AN=NC=3x，EN=x，
∴EC=NC+EN=4x，AC=AE+EC=6x．
∵EF∥AB，
∴△CMN∽△CBA，
∴

S△CMN

S△CBA

=（

EC

AC

）²=

4

9

，
故S_△CEF：S_{四邊形AEFB}=4：5．
因此過G點的任意一條直線不是都能把△ABC分成面積相等的兩部分．

點評：此題結合等邊三角形的性質考查了三角形面積的求法、相似三角形的判定和性質以及三角形重心的相關知識；由于本題中所要求的是“過G點的任意一條直線”，因此可選用比較特殊的直線（例如：平行、垂直等）進行探索．