Question

【題目】已知O為坐標原點，A，B分別在y軸、x軸正半軸上，D是x軸正半軸上一動點，AD＝DE，∠ADE＝α，矩形AOBC的面積為32且AC＝2BC．

（1）如圖1，當α＝90°時，直線CE交x軸于點F，求證：F為OB中點；

（2）如圖2，當α＝60°時，若D是OB中點，求E點坐標；

（3）如圖3，當α＝120°時，Q是AE的中點，求D點運動過程中BQ的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（2+2，2+2）；（3）4

【解析】

（1）由題意得出BC＝4，AC＝8，過點E作MN⊥AC交AC于點M、交OB于點N，則四邊形AONM為矩形、四邊形MNBC為矩形，證明△END≌△DOA（AAS），得出OA＝DN＝4，EN＝OD，設OD＝EN＝x，則ME＝MN﹣EN＝4﹣x，MC＝AC﹣AM＝AC﹣ON＝AC﹣OD﹣DN＝8﹣x﹣4＝4﹣x，證明△CME是等腰直角三角形，得出∠MCE＝45°，證出△CBF是等腰直角三角形，得出BC＝BF＝4，證出OF＝BF即可；

（2）證明△AOD是等腰直角三角形，得出AD＝4，連接OE，證明△ADE為等邊三角形，得出EA＝ED，證明OE垂直平分AD，由等腰三角形的性質得出∠AOE＝∠DOE＝45°，由勾股定理得出OE＝2（+），即可得出答案；

（3）連接DQ、OQ，由等腰三角形的性質得出DQ⊥AE，證明A、O、D、Q四點共圓，由等腰三角形的性質得出∠DAQ＝30°，由圓周角定理得出∠QOD＝30°，得出Q點的運動軌跡為與x軸的一個夾角為30°的射線，當BQ⊥MN時，BQ有最小值，由含30°角的直角三角形的性質即可得出答案．

（1）證明：∵矩形AOBC的面積為32且AC＝2BC，

∴S矩形AOBC＝ACBC＝2BCBC＝2BC2＝32，

∴BC＝4，

∴AC＝8，

過點E作MN⊥AC交AC于點M、交OB于點N，如圖1所示：

則四邊形AONM為矩形、四邊形MNBC為矩形，

∴OA＝MN＝BC＝4，AM+CM＝ON+BN＝AC＝OB＝8，∠END＝∠DOA＝90°，

∵∠ADE＝90°，

∴∠ADO+∠EDN＝90°，

∵∠ADO+∠DAO＝90°，

∴∠EDN＝∠DAO，

在△END和△DOA中，

，

∴△END≌△DOA（AAS），

∴OA＝DN＝4，EN＝OD，

設OD＝EN＝x，

則ME＝MN﹣EN＝4﹣x，MC＝AC﹣AM＝AC﹣ON＝AC﹣OD﹣DN＝8﹣x﹣4＝4﹣x，

∴ME＝MC，

∴△CME是等腰直角三角形，

∴∠MCE＝45°，

∴∠FCB＝45°，

∴△CBF是等腰直角三角形，

∴BC＝BF＝4，

∴OF＝OB﹣F＝8﹣4＝4，

∴OF＝BF，

∴F為OB中點；

（2）解：∵D是OB中點，

∴OB＝2OA＝2OD＝8，

∴OA＝OD＝4，

∴△AOD是等腰直角三角形，

∴AD＝4，

連接OE，如圖2所示：

∵AD＝DE，∠ADE＝60°

∴△ADE為等邊三角形，

∴EA＝ED，

∵AO＝DO，

∴OE垂直平分AD，

∴∠AOE＝∠DOE＝45°，

∴E點的橫縱坐標為都為：×2（+）＝2+2，

∴E點坐標為（2+2，2+2），

（3）解：連接DQ、OQ，如圖3所示：

∵AD＝DE，Q是AE的中點，

∴DQ⊥AE，

∵AO⊥OD，

∴∠AOD+∠AOD＝180°，

∴A、O、D、Q四點共圓，

∵∠ADE＝120°，AD＝DE，

∴∠DAQ＝∠DEA＝30°，

∴∠QOD＝∠DAQ＝30°，

∴Q點的運動軌跡為與x軸的一個夾角為30°的射線，

∴當BQ⊥MN時，BQ有最小值，

BQ＝OB＝×8＝4．