Question

如圖．點A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于點E，過點O作OF⊥BC于F，求證：

（1）△AEB∽△OFC；
（2）AD=2FO．

Answer 1

證明：（1）如圖，連接OB，則∠BAE=∠BOC，

∵OF⊥BC，∴∠COF=∠BOC。
∴∠BAE=∠COF。
又∵AC⊥BD，OF⊥BC，∴∠OFC=∠AEB=90°。
∴△AEB∽△OFC。
（2）∵△AEB∽△OFC，∴，即。
由圓周角定理，∠D=∠BCE，∠DAE=∠CBE，
∴△ADE∽△BCE。∴。
∴。
∵OF⊥BC，∴BC=2CF。
∴AD =2FO。

試題分析：（1）連接OB，根據圓周角定理可得∠BAE=∠BOC，根據垂徑定理可得∠COF=∠BOC，再根據垂直的定義可得∠OFC=∠AEB=90°，然后根據兩角對應相等，兩三角形相似證明即可；
（2）根據相似三角形對應邊成比例可得，再根據圓周角定理求出∠D=∠BCE，∠DAE=∠CBE，然后求出△ADE和△BCE相似，根據相似三角形對應邊成比例可得，從而得到，再根據垂徑定理BC=2FC，代入整理即可得證。