Question

如圖，AB，CD是⊙O的直徑，點E在AB延長線上，FE⊥AB，BE=EF=2，FE的延長線交CD延長線于點G，DG=GE=3，連接FD．

（1）求⊙O的半徑；
（2）求證：DF是⊙O的切線．

Answer 1

解：（1）設⊙O半徑為R，則OD=OB=R，
在Rt△OEG中，∠OEG=90°，由勾股定理得：OG²=OE²+EG²，
∴（R+3）²=（R+2）²+3²，R=2，即⊙O半徑是2。
（2）證明：∵OB=OD=2，∴OG=2+3=5，GF=2+3=5=OG，
∵在△FDG和△OEG中，FG=OG，∠G=∠G，EG=DG，
∴△FDG≌△OEG（SAS）。∴∠FDG=∠OEG=90°。
∴∠ODF=90°，∴OD⊥DF。
∵OD為半徑，∴DF是⊙O的切線。

試題分析：（1）充⊙O半徑OD=OB=R，在Rt△OEG中，∠OEG=90°，由勾股定理得出方程（R+3）²=（R+2）²+3²，求出即可。
（2）證△FDG≌△OEG，推出∠FDG=∠OEG=90°，求出OD⊥DF，根據切線的判定推出即可。